1. Homologie de Floer des fibrations, produit de Chas-Sullivan quantique, et applications
2. Quelques calculs en cohomologie de Hochschild
3. Noyau du morphisme de Seidel

 

François Charette

Collège Marianopolis

 

Domaine : structures abstraites

Programme de recherche pour les chercheurs de collège

Concours 2019-2020

1. Homologie de Floer des fibrations :
Ce projet en plusieurs parties propose de rafiner l'homologie de Floer classique en une version qui tienne compte de la topologie des lacets, ainsi que de la structure de produit de Chas-Sullivan.

Nous proposons ensuite de démontrer l'efficacité de cette nouvelle machinerie, d'abord en donnant une nouvelle preuve d'un théorème de Viterbo concernant la courbure sectionnelle du lieu réel d'une variété fortement de Fano. Les liens entre la croissance de l'homologie des lacets libres et la courbure négative d'une variété étant déjà bien connus, nous ne croyons pas rencontrer d'obstacle majeur pour arriver à ce premier but.

Ensuite, nous voulons obtenir de nouvelles applications à l'étude du groupe fondamental des lagrangiennes monotones. À ce stade, nous nous contentons d'énoncer le principe directeur derrière ce projet de recherche : étant donné que l'homologie de Floer classique restreint fortement la topologie des variétés lagrangiennes étroites, cette nouvelle théorie de Floer enrichie devrait donner des restrictions sur la topologie des lacets de ces mêmes lagrangiennes, ce qui conduit à son tour à une meilleure connaissance du groupe fondamental.

2. Quelques calculs en cohomologie de Hochschild :
Ce projet de recherche est destiné à un étudiant du Collège, que je compte financer avec cette subvention. Il s'agit ici, comme le titre l'indique, de calculer certains groupes de cohomologie de Hochschild apparaissant naturellement en théorie de Floer lagrangienne dans mes recherches antérieures, notamment dans l'étude de la torsion de Reidemeister quantique. Bien que ces notions soient trop avancées pour un étudiant de ce niveau, les calculs ne nécessitent bien souvent que des outils de niveau collégial (l'algèbre linéaire), ainsi qu'un brin de programmation.