Algèbres amassées, l'équation de Painlevé VI et les problèmes de Riemann-Hilbert

 

Vasilisa Shramchenko

Université de Sherbrooke

 

Domaine : structures abstraites

Programme établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2010-2011

Nous proposons deux directions de recherche. La première porte sur certaines structures algébriques et combinatoires s'appelant des algèbres amassées. Elles ont été introduites il y a moins de 10 ans. Les algèbres amassées attirent beaucoup d'attention à cause de leur présence dans des contextes multiples et divers. Par exemple dans la théorie des surfaces de Riemann: l'ensemble des coordonnées sur un certain espace de surfaces de Riemann du type fixé, forme une algèbre amassée.

Nous planifions d'introduire et d'étudier les relations entre les algèbres amassées différentes – les analogues de celles-ci entre les algèbres non-amassées – les homomorphismes amassés, les sous-algèbres amassées, etc. Comme application nous espérons déduire les relations correspondantes entre les types topologiques de surfaces de Riemann.

Dans la deuxième partie du projet il s'agit d'une équation classique, l'équation de Painlevé. C'est une équation dont la solution ne peut être donnée sous forme de fonctions connues, donc elle est une fonction nouvelle. Nous proposons une approche à l'étude des généralisations de cette équation. Nous utiliserons les liaisons existantes entre l'équation de Painlevé, la géométrie de trajectoires de la boule de billard dans une surface et les problèmes d'un certain type - les problèmes de Riemann-Hilbert.