Asymptotiques des statistiques des valeurs propres dans les matrices aléatoires planaires

 

Ferenc Balogh

Cégep John Abbott

 

Domaine : structures abstraites

Programme de recherche pour les chercheurs de collège

Concours 2018-2019

Une matrice aléatoire est un tableau de nombres que sont tirés au hasard d'une distribution conjointe prescrite. Les modèles classiques des matrices hermitiennes aléatoires sont définis par les densités sur l'espace de matrices hermitiennes qui sont invariantes sous l'action du groupe unitaire. Les statistiques des matrices hermitiennes sont bien comprises : les fonctions de corrélation pour leurs valeurs propres sont exprimables en terme de polynômes orthogonaux, et leurs développements asymptotiques, dans la limite des grandes tailles, sont gouvernés par la mesure d'équilibre, qui minimise l'énérgie dans un problème variationnel électrostatique. Les supports de mesure d'orthogonalité des polynômes et de la mesure d'équilibre sont toujours réels quand le modèle est hermitien. Les valeurs propres agiront comme des particules électriquement chargées sur l'axe des nombres, et par cette analogie nous pouvons modèler avec eux un grand nombre de systèmes avec une répulsion naturelle entre ses composants, comme la distribution de voitures stationnées sur une rue, des oiseaux perchés sur une corde, les heures de départ des autobus dans un réseau de transport autogéré, ou le temps d'embarquement des passagers dans un avion.

Grâce à la méthode de Riemann–Hilbert, développé par Deift et Zhou, il est possible de calculer les développements asymptotiques pour les polynômes orthogonaux qui permettent d'obtenir les limites universelles des fonctions de corrélation pour les matrices hermitiennes aléatoires qui ne dépendent que des symétries du modèle.

Mon travail de recherche se concentre sur la relation entre les asymptotiques des polynômes orthogonaux et la mesure d'équilibre pour les modèles de matrices aléatoires planaires, où les valeurs propres ne sont pas confinées sur l'axe réel. Ces modèles sont motivés par leurs applications possibles sur de phénomènes terrestres ou maritimes où une force de répulsion entre les composants du système est présente. La méthode Riemann–Hilbert pour les matrices hermitiennes n'est pas directement applicable aux matrices aléatoires planaires. Une méthode pour obtenir les développements asymptotiques pour les fonctions de corrélation est encore à trouver. À présent, cette question a été résolue seulement pour des exemples très spéciaux. Avec mes travaux antérieurs comme point de départ, je propose un projet utilisant diverses techniques de la théorie du potentiel, des applications conformes, polynômes orthogonaux, domaines de quadrature et déterminants de Fredholm pour trouver de nouvelles lois statistiques universelles pour les matrices aléatoires planaires.