Conjectures principales pour familles des formes automorphes

 

Giovanni Rosso

Université Concordia

 

Domaine : structures abstraites

Programme : établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2018-2019

Mon projet de recherche est la résolution de problèmes et de conjectures dans deux domaines de la théorie des nombres qui expérimentent un développement massif : la théorie d'Iwasawa et les familles de formes automorphes. Les sujets étudiés ont plusieurs ramifications possibles ; ils produisent en particulier des problèmes pour des étudiants en master et les doctorants.
 
Un des principaux buts de la théorie des nombres est l'étude des solutions entières des équations polynomiales ; ceci a été fait par des méthodes de géométrie algébrique et par des méthodes analytiques. A chaque "motive" on peut associer deux objets : la fonction L et le groupe de Selmer (qui généralise l'idée de point). Une série de conjectures, dont celle de Bloch--Kato, dit que l'information sur la valeur et l'ordre d'annulation de la fonction L peut être traduite en information sur le groupe de Selmer.
 
Une approche très fructueuse pour résoudre ces conjectures est les déformations p-adiques. On peut étudier chaque motif sur une tour de corps de nombres, par exemple les extensions engendrées par le racine p^n-iemes de l'unité. Dans plusieurs cas, on peut définir une fonction L p-adique et un gros groupe de Selmer sur la tour. Les conjectures de Iwasawa--Greenberg--Benois, appelées Conjecture Principales, prédisent que le groupe de Selmer est de co-torsion sur l'algèbre des séries formelles et que son idéal caractéristique est engendré par la fonction L p-adique. Souvent ces conjectures impliquent la conjecture de Bloch--Kato.
 
Le premier but de mon projet est de démontrer la Conjecture Principale pour les formes de Siegel ordinaires ; ce travail est commun avec Z.Liu et E.Urban. La stratégie est la suivante : on construit des familles p-adiques de séries d'Eisenstein--Klingen dont le terme constant est la fonction L p-adique. Quand celle-ci s'annule, la méthode de Ribet permet de construire des cocycles dans le groupe de Selmer qui bornent sa taille ; on obtient ainsi une inclusion entre les deux idéaux.
 
Ceci prouve que les familles p-adiques sont nécessaires pour les Conjectures Principales. Pour l'instant, on a des familles seulement quand le lieu p-ordinaire de la variété de Shimura est non-vide, ce qui exclut plusieurs cas. Dans un travail en cours avec R.Brasca on développe la théorie de Hida pour les variétés de Shimura de type PEL sans lieu ordinaire. L'idée est d'échanger la partie multiplicative du groupe p-divisible universel par la partie connexe. Cette approche utilise surtout des propriétés du module de Dieudonne et de sa filtration. On veut donc généraliser cette construction aux variétés de Shimura qui ne sont pas de type PEL mais qui ont une flèche sur le champs de G-zips, qui sont des "module de Dieudonne avec G-structure", comme par exemple les variétés de Shimura orthogonales. Cette construction ouvre la porte à la construction de plusieurs fonctions L p-adiques.