Formes modulaires p-adiques et cycles algébriques sur les variétés de Shimura

 

Henri Darmon

Université McGill

 

Domaine : structures abstraites

Programme projet de recherche en équipe

Concours 2018-2019

L'équipe de théorie des nombres algébrique de Montréal étudiera les cycles algébriques sur les variétés de Shimura et leurs liens avec les valeurs spéciales des fonctions L et les coefficients de fourier des formes modulaires,  par une approche qui privilégiera les méthodes géométriques et p-adiques. Eyal Goren se concentrera sur les aspects proprement géométriques de ce programme,  en étudiant les hauteurs d'Arakelov de cycles algébriques spéciaux sur les variétés de Shimura associées aux groupes orthogonaux et unitaires, et en explorant la géométrie de ces variétés en caractéristique p. Les cycles algébriques sur les variétés de Shimura admettent souvent de bonnes propriétés d'interpolation p-adique et jouent ainsi un rôle important dans l'étude des conjectures principales de la théorie d'Iwasawa, en permettant la construction de certaines fonctions L p-adiques, selon la philosophie des "systèmes d'Euler". Giovanni Rosso, le membre le plus nouveau de l'équipe, étudiera ces conjectures principales dans le cadre des fonctions L associées aux représentations automorphes des groupes symplectiques, et continuera d'explorer les propriétés des "invariants L" qui jouent un rôle subtil mais important en théorie d'Iwasawa. Adrian Iovita vise à mettre au point une  théorie géométrique  des analogues p-adiques des formes de Maass harmoniques faiblement holomorphes, en se basant sur ses travaux sur la théorie géométrique des familles p-adiques des formes modulaires  accomplis avec Andreatta et Pilloni au cours des dernières années.

Dans le cadre réel analytique classique, ces formes de Maass donnent souvent lieu à des séries génératrices pour des collections de cycles algébriques spéciaux sur les variétés de Shimura et permettent ainsi de mieux comprendre le comportement de ces cycles algébriques. De plus, les "formes de Maass p-adiques faiblement holomorphes" ont des liens prometteurs avec la construction analytique des corps de classe des corps quadratiques réels, un cas particulier  du célèbre 12-ème problème de Hilbert. 

En collaboration avec Jan Vonk, un des stagiaires post-doctoraux de l'équipe, Henri Darmon a récemment réussi à construire des invariants p-adiques associés à une paire de points réels quadratiques sur le demi-plan p-adique de Drinfeld. Ces invariants semblent jouir des mêmes propriétés que la différence des valeurs de la fonction modulaire j(z) en deux points quadratiques imaginaires du demi-plan de Poincaré complexe. Darmon et Vonk espèrent démontrer que leurs invariants, définis par voie purement analytique, sont algébriques et engendrent des extensions abéliennes de corps quadratiques réels, en réalisant leurs logarithmes p-adiques comme les coefficients de fourier de certaines  formes de Maass p-adiques faiblement holomorphes de poids 3/2.