La topologie et la géométrie des groupes arithmétiques

 

Michael Lipnowski

Université McGill

 

Domaine : structures abstraites

Programme : établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2019-2020

Les travaux de Serre, Ash, Calegari-Venkatesh, Bergeron-Venkatesh et Scholze brossent un tableau très convaincant de l'importance de la torsion dans l'homologie des groupes arithmétiques. On s'attend maintenant à ce que les systèmes de valeurs propres des opérateurs de Hecke agissant sur l'homologie des espaces localement symétriques associés aux groupes arithmétiques de congruence soient la source universelle de corps de nombres dont le groupe de Galois est un groupe fini de type de Lie. Cette attente a été surnommée "réciprocité sur Z" ; elle inclut la conjecture de Serre sur la modularité des représentations galoisiennes impaires mod p de dimension 2 en tant que cas particulier.

La réciprocité et la fonctorialité sur Z seraient vides, sans résultats quantitatifs (asymptotiques) prouvant que la torsion dans l'homologie des groupes arithmétiques est (au moins parfois) abondante. Un modèle convaincant prédisant exactement quels groupes arithmétiques devraient contenir une torsion abondante dans leur homologie a été exposé dans les travaux de Bergeron-Venkatesh ; d'importants progrès dans cette direction ont été prouvés dans ces mêmes travaux, ainsi que par Marshall-Muller, Muller-Pfaff et d'autres. Les connaissances actuelles sur la croissance de la torsion sont toutefois très limitées dans le cas des "poids" pour lesquels la cohomologie rationnelle et la torsion coexistent.

En outre :

  • Si l'on s'attend à ce que la torsion soit abondante dans l'homologie d'un groupe arithmétique explicite, on devrait sûrement pouvoir le "voir sur un ordinateur".
  • Le paysage de la réciprocité sur Z est complètement ouvert et rempli de conjectures. Les conjectures les plus pertinentes sont falsifiables et il semble très intéressant de les confirmer par le calcul, dans la mesure du possible. Les meilleures approches existantes pour calculer l'homologie des groupes arithmétiques sont cependant ad hoc et ont une portée limitée en raison de problèmes d'efficacité algorithmique. Il est donc très utile de concevoir des algorithmes pour calculer efficacement l'homologie des groupes arithmétiques (et l'action des opérateurs de Hecke sur celle-ci).

Mon programme de recherche s'articulera autour des deux thèmes ci-dessus. À savoir, il étudiera :

  • (A) la croissance des invariants topologiques dans les familles d'espaces localement symétriques de volume fini, en particulier la torsion dans l'homologie ;
  • (B) comment calculer efficacement ces invariants.

La torsion dans l'homologie des groupes arithmétiques est un "sujet brûlant" ; le temps est venu de progresser sur les problèmes (A) et (B) et de tels progrès seraient d'une grande utilité.

En ce qui concerne (A), je prévois de poursuivre le programme de "vol de surface" initié lors de mon travail avec Mark Stern sur les petites valeurs propres (sur les 1-formes) sur les variétés hyperboliques. En ce qui concerne (B), je compte mener à bien mon projet d'algorithme avec Aurel Page, qui couvre les espaces localement symétriques par des boules et détermine leur combinatoire.