Le Problème de Fermeture Plate Pour les Groupes C(6)-T(3) and C(3)-T(6)

 

Hadi Bigdely

Collège Marianopolis

 

Domaine : structures abstraites

Programme de recherche pour les chercheurs de collège

Concours 2019-2020

Cette proposition comporte deux sections:

(1) LE PROJET PRINCIPAL :
La "Conjecture de fermeture plate", popularisée par Gromov [M.Gromov 87], affirme qu'un groupe G agissant sur un espace CAT(0), de manière propre et cocompacte, est hyperbolique si et seulement si G ne contient pas de sous-groupe abélien libre de rang 2. La conjecture a été résolue dans certains cas [V.Bangert, V.Schroeder 91], [G.Perelman 03], [M.Sageev, D.Wise 11], [P.E.Caprace, F.Haglund 09].

Dans ce projet, nous proposons de prouver que le groupe G agissant sur un complexe C(6)-T(3) de manière propre et cocompacte est hyperbolique si et seulement si G ne contient pas de sous-groupe abélien libre de rang 2. Un 2-complexe X satisfait "la condition de petite simplification C(p)-T(q)" si chaque "disk diagram" D de X a la propriété que les 2-cellules internes ont au moins p 2-cellules voisines et que les 0-cellules internes ont au moins q 2-cellules adjacentes. Un groupe G est C(p)-T(q) s'il agit sur un complexe C(p)-T(q) de manière propre et cocompacte. Il est connu qu'un complexe nonhyperbolique C(6)-T(3) est à courbure négative ou nulle s'il est soit C(6)-T(3), C(3)-T(6) ou C(4)-T(4).

En utilisant ce résultat, nous allons prouver que G est "hyperbolique relativement" aux groupes "d'Artin à angles droits", ce qui implique que G a la propriété dite de Décroissance Rapide, et satisfait la conjecture Baum-Connes.

(2) UN AUTRE PROBLÈME D'INVESTIGATION :
L'action d'un groupe G sur un espace métrique S est dite acylindrique si pour tout E> 0 il existe R, N> 0 tel que pour deux points x, y avec d(x, y)>R, il y a in maximum de N éléments g en G vérifiant d(x, gx)<E et d(y, gy)<E. L'étude des actions acylindriques sur les espaces hyperboliques, initiée dans sa forme moderne par Osin [D. Osin16] suivant un travail antérieur de [Z. Sella97] et [G. Bowditch08], s'est avérée être un outil puissant pour étudier des groupes avec certains aspects de la courbure non positive.

Osin [D. Osin16] définit l'action acylindrique universelle, pour un groupe donné G, une action acylindrique agissant sur l'espace hyperbolique S tel que tout élément de G qui agit loxodromiquement dans une action acylindrique sur un espace hyperbolique, doit agir loxodromiquement dans cette action. Osin [D. Osin16] a démontré que le groupe modulaire d'une surface close de genre>1, le groupe relativement hyperbolique avec conditions sur les sous-groupes périphériques, le groupe fondamental du complément d'un noeud hyperbolique et des groupes limites ont une action acylindrique universelle.

La deuxième partie du projet consiste à étudier les combinaisons de problèmes suivantes :
Problème : Soit G_1 et G_2 qui admettent une action acylindrique universelle sur certains espaces hyperboliques. Sous quelles conditions, sur un sous-groupe H de G_1 et G_2, le produit libre amalgamé de G_1 et G_2 le long de H a-t-il une action acylindrique universelle sur un espace hyperbolique. Nous posons également une question similaire pour l'extension HNN de G_1 le long de H.