Pavages unimodulaires du plan et applications

 

Christophe Reutenauer

Université du Québec à Montréal

 

Domaine : structures abstraites

Programme projet de recherche en équipe

Concours 2010-2011

Faisant suite à la notion de frieze patterns de Coxeter et Conway, nous introduisons la notion de pavage unimodulaire du plan. Un tel pavage est un remplissage du plan discret par des entiers naturels de telle manière que chaque sous-matrice adjacente de taille k par k soit de déterminant 1. Quand k=2, on retrouve la notion ci-dessus, et elle nous permet de résoudre un problème de rationalité lié aux algèbres amassées (cluster algebras de Fomin et Zelevinsky); plus précisément, nous trouvons une classification à la Cartan-Killing des graphes dont la frise associée est rationnelle.

Nous généraliserons la notion au cas k > 2 et montrerons que l'introduction de la dualité de l'algèbre linéaire conduit à l'interprétation de nombreuses identités classiques sur les déterminants, dont la Loi de condensation de Dodgson (connu aussi sous le nom de Lewis Carroll).

Ce travail a des applications dans la théorie des algèbres amassées (nouvelles formules pour les variables), et peut s'appliquer aussi en physique statistique (équations de Hirota); il a aussi des liens avec la statistique algébrique (la nullité des mineurs adjacents d'une taille donnnée généralise l'indépendance de variables aléatoires).