Représentation de Seidel Lagrangienne et quasi-morphismes relatifs

 

Clément Hyvrier

Cégep de St-Laurent

 

Domaine : structures abstraites

Programme projet de recherche pour les enseignants de collège

Concours 2014-2015

Dans ce projet je me propose de mieux comprendre l'un des objets fondamentaux en topologie symplectique: le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de la variété symplectique, c'est-à-dire le groupe des transformations provenant des équations de Hamilton dans un système mécanique. Je m'intéresse particulièrement à la façon dont ces transformations agissent sur une sous-variété Lagrangienne donnée: un difféomorphisme hamiltonien engendre un chemin « exact »  de Lagrangiennes. Les questions abordées dans ce projet visent à mieux comprendre la topologie et la géométrie de l'ensemble des chemins exacts de Lagrangiennes.

Premièrement, je me propose de construire un quasi-morphisme « à la Entov et Polterovich » sur l'espace de ces chemins exacts de Lagrangienne, et, une fois construit, de comparer ce quasi-morphisme au morphisme de Calabi lagrangien de J. Solomon.

Deuxièmement, je souhaite trouver un exemple de deux chemins exacts de lagrangiennes homotopiquement différents ayant le même élément de Seidel lagrangien. Enfin, j'envisage la construction d'invariants généralisant en un sens la représentation de Seidel lagrangienne comme ceux introduits par Savelyev dans le cadre absolu.