Analyse complexe et universalité

 

Richard Fournier

Collège Dawson

 

Domaine : structures abstraites

Programme de recherche pour les enseignants de collège

Concours 2010-2011

Nous nous proposons d'étudier certaines questions reliées à l'universalité en analyse complexe. Un exemple est le suivant : un article récent de Bayart et al. (Proc. Lond. Math. Soc. (3) 96 (2008), no. 2, 417--463) propose une théorie générale de l'universalité en analyse complexe. Il existe cependant des phénomènes d'universalité qui échappent à cette théorie générale et nous avons récemment mis à jour un tel phénomène, l'universalité par les familles normales.

Nous nous proposons d'approfondir ce sujet dans le présent projet de recherche. Un autre exemple est aussi intéressant de ce point de vue. En effet, on peut réinterpréter le théorème de réarrangement de séries de Riemann comme un énoncé de type universalité : l'ensemble des réarrangements d'une seule série conditionnellement convergente de nombres réels suffit pour générer tous les nombres réels. Nous nous proposons d'étendre ce résultat (modulo quelques précautions) à des séries conditionnellement convergentes dans un espace de Banach quelconque.

Nous espérons pouvoir montrer qu'il s'agit encore d'un phénomène échappant au paradigme de Bayart et al. dans l'article cité plus haut; il nous semble par ailleurs aussi possible de montrer que, aussi dans ce cas, l'ensemble des éléments universaux sera très gros : il pourrait, par exemple, être de seconde catégorie de Baire, contenir un sous-espace dense de dimension finie ou bien un sous-espace de dimension infinie (lorsqu'une topologie convenable équipe l'ensemble de séries en question).