La théorie d'Iwasawa non commutative des courbes elliptiques en des premiers super singuliers

 

Antonio Lei

Université Laval

 

Domaine : structures abstraites

Programme établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2015-2016

Une courbe elliptique est une courbe projective définie par une équation cubique. Ces courbes font l'objet de nombreuses études en théorie des nombres. Elles possèdent non seulement des structures arithmétiques riches, mais elles ont aussi des applications importantes dans d'autres domaines des mathématiques, y compris en cryptographie. Par exemple, nous pouvons définir un cryptosystème en utilisant une courbe elliptique. Beaucoup de transactions financières en ligne sont réalisées sous un tel système. Il est donc essentiel de bien comprendre les structures arithmétiques de ces courbes. Le problème le plus célèbre dans ce champ d'étude est la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Il est un des sept problèmes du prix du millénaire choisis par l'Institut de mathématiques Clay. Une résolution de ce problème est dotée d'un prix d'un million de dollars américains. La conjecture affirme que le rang d'une courbe elliptique (c'est-à-dire le nombre de points sur la courbe) est décrit par une fonction analytique. Une des approches qui nous a aidé à mieux comprendre ce problème est la théorie d'Iwasawa. Elle est l'étude du comportement d'une courbe elliptique dans une série de domaines algébriques définis par p. Dans ce projet, nous allons étudier la théorie d'Iwasawa de E sur les extensions de Kummer qui sont définies par des racines p^n-ièmes. En particulier, nous allons :

  1. étudier les structures arithmétiques de E sur ces extensions;
  2. définir des fonctions analytiques qui encodent le comportement de E sur ces extensions;
  3. étudier la relation entre ces deux catégories d'objets.