Les systèmes des courbes et le groupe de Cremona

 

Piotr Przytycki

Université McGill

 

Domaine : structures abstraites

Programme : établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2017-2018

Ce projet est composé de deux problèmes indépendants, chacun concernant une action d'un groupe célèbre sur un complexe à la géométrie intéressante.

Le premier problème est d'établir, sur une surface fermée S, la cardinalité maximale d'un ensemble de courbes qui deux à deux s'intersectent au plus une fois. Cela est lié à la dimension d'une version du complexe des courbes sur lequel agit le groupe Mod(S). Un problème que j'envisage de résoudre auparavant est d'établir, sur une surface à bord, la cardinalité maximale d'un ensemble d'arcs qui deux à deux s'intersectent au plus deux fois.

L'approche est d'associer à chaque arc un triangle hyperbolique appelé une plume puis de démontrer que les plumes ne peuvent pas s'accumuler. Chaque plume est munie d'un arc plongé appelé une fente. Les fentes deux à deux s'intersectent au plus une fois, mais il faut chercher leurs propriétés supplémentaires.

Dans le deuxième problème on étudie le complexe C de Lamy muni de l'action du groupe de Cremona Tame(k^3). On veut démontrer que chaque sous-groupe fini fixe un sommet de C. Avant de faire ça, on doit comprendre la courbure négative ou nulle de C et la convexité dans C.

La méthode consisterait à découvrir comment munir d'angles chaque disque dans C. Cela devrait conduire à l'hyperbolicité et asphéricité de C.