Analyse géométrique sur les variétés singulières et non-compactes

 

Frédéric Rochon

Université du Québec à Montréal

 

Domaine : structures abstraites

Programme établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2013-2014

L'analyse géométrique porte sur l'étude des équations aux dérivées partielles dans des cadres géométriques. D'une part, on peut étudier des équations différentielles telles que l'équation des ondes ou l'équation de la chaleur sur des espaces courbes et regarder quel est l'impact de la géométrie et de la topologie sur les solutions de ces équations. D'autre part, l'analyse géométrique intervient dans la solution de problèmes strictement géométriques, typiquement la recherche sur un espace donné d'une métrique (d'une géométrie) ayant de bonnes propriétés, par exemple une courbure uniforme. En effet, bien souvent, l'obtention de telles métriques passe par la résolution d'une équation aux dérivées partielles, on pense entre autres à l'équation d'Einstein dans la théorie de la relativité générale.

Dans le projet de recherche proposé, il est question d'analyse géométrique sur des espaces courbes ayant aussi des singularités ou des bouts infinis. Par singularité, on entend par exemple la pointe d'un cône, une arête ou un cusp. La présence de singularités amène son lot de complications, mais peut aussi mettre en lumière de nouveaux phénomènes.

Pour obtenir un mélange intéressant de géométrie, d'analyse et de topologie, trois axes de recherche sont envisagés : (I) les équations aux dérivées partielles non-linéaires, (II) l'analyse spectrale et (III) la théorie de l'indice. Plusieurs problèmes seront étudiés, certains en particulier avec la participation d'étudiants de deuxième cycle.