Croissance et géométrie nodale des fonctions propres d'opérateurs elliptiques

 

Guillaume Poliquin

Collège Ahuntsic

 

Domaine : structures abstraites

Programme de recherche pour les chercheurs de collège

Concours 2017-2018

Mon sujet de recherche en mathématiques se classe comme de la géométrie spectrale. Il s'agit d'un domaine mathématique à la frontière de la géométrie, de l'analyse fonctionnelle, des équations aux dérivées partielles et de la physique mathématique. On y étudie, entre autres, les phénomènes de vibration de plaques ou de membranes.

L'analyse des modes de vibrations pures d'une peau de tambour vibrante en constitue un exemple concret. Mathématiquement, ces modes de vibration représentent les fonctions propres d'un opérateur et les valeurs propres de ce dernier sont associables aux fréquences entendues lors des vibrations. Lors du traitement de ce type de problème, une simplification est parfois commise. Par exemple, on considère souvent le modèle associé à une membrane élastique vibrante, ce modèle étant plus simple, au lieu de celui associé à une plaque vibrante.

Pourtant, ces phénomènes sont modélisés par des opérateurs bien distincts, notamment par le bi-laplacien (modélisation de la plaque vibrante) et par le laplacien (membrane élastique vibrante). Mon projet de recherche vise à mettre en lumière les différences et les ressemblances entre ces opérateurs. Du coup, je m'intéresse aux propriétés de croissance ainsi qu'à la géométrie nodale des fonctions propres associées à ces opérateurs.

Plus précisément, j'ai l'intention de me pencher sur la géométrie nodale des fonctions propres du bi-laplacien dans le cas d'une plaque circulaire vibrante afin d'expliciter certaines différences significatives entre ce modèle et celui d'une membrane vibrante. De plus, je vais étudier la croissance des fonctions propres associées au problème d'une membrane vibrante libre à ses extrémités sur un disque planaire.