Distribution de zeros de familles des courbes sur des corps finis et courbes de Artin-Schreier

 

Andrew Granville

Université de Montréal

 

Domaine : structures abstraites

Programme projet de recherche en équipe

Concours 2012-2013

Nous étudions dans ce projet de recherche la distribution des racines des fonctions zeta de familles de courbes sur des corps finis à q éléments. Plus précisement, la variation de la somme des racines des courbes dans une famille quand le genre est fixé et que q tend vers l'infini peut être décrite avec la théorie des matrices aléatoires, comme demontré par Katz et Sarnak. 

La variation de la somme des racines de la famille quand q est fixé et que le genre tend vers l'infini peut être décrite comme une somme de variables aléatoires indépendentes et identiquement distribuées. Ce sont les travaux récents de Kurlberg et Rudnick qui ont été généralisés à plusieurs familles de courbes par les CHUs David et Lalin et leurs collaboratrices. Plus récemment, Entin a étudié la variation de la somme des racines (et de leurs puissances) pour la famille des courbes de Artin-Schreier. Des travaux plus précis sur la distribution des racines des fonctions zetas dans des intervalles ont été conduits par Faifman et Rudnick pour les courbes hyperelliptiques. Les trois CHUs proposent maintenant d'étudier la distribution des racines des fonctions zetas dans des intervalles du cercle unitaire pour la famille des courbes de Artin-Schreier.

Il y a plusieurs aspects de ce probème qui sont très différents de ceux considerés auparavant, et on peut espérer que le dévelopement de techniques pour résoudre cette question aura un impact sur notre compréhension de statistiques similaires pour d'autres familles de courbes jusqu'ici inabordables.