La structure des fonctions multiplicatives oscillatoires

 

Dimitrio Koukoulopoulos

Université de Montréal

 

Domaine : structures abstraites

Programme établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2015-2016

La multiplication est une des opérations arithmétiques principales. La compréhension de ses fines propriétés nous amène à des questions profondes. Par exemple, les nombres premiers sont des entiers non exprimables comme le produit de deux entiers strictement plus petits. Alors, 2,3,5,7,11... sont des nombres premiers. Ces nombres spéciaux sont les « matériaux de construction » de la multiplication.

La répartition des nombres premiers parmi tous les entiers, ainsi que parmi d'autres sous-ensembles spéciaux des entiers, est un des problèmes les plus étudiés en mathématiques. Une façon pratique d'étudier simultanément plusieurs questions concernant les nombres premiers et, plus généralement, la multiplication est d'utiliser les fonctions multiplicatives, qui sont des fonctions respectant la structure multiplicative des entiers. Par exemple, 6 = 2 x 3, alors si f est une telle fonction, les valeurs f(6), f(2) et f(3) doivent obéir à la même règle multiplicative : f(6) = f(2) x f(3). Souvent, l'insertion d'entiers différents à une fonction multiplicative peut produire des valeurs qui varient de façon imprévisible.

Cependant, si on ajoute plusieurs valeurs, alors ces irrégularités sont atténuées. Le comportement et la taille de ces sommes de valeurs d'une fonction multiplicative sont d'importance centrale. Ce problème est d'un intérêt particulier quand la fonction n'assume pas seulement des valeurs positives ou négatives, mais qu'au contraire, elle alterne entre des valeurs positives et négatives. On peut alors se demander si les valeurs de signes opposés s'annulent les unes, les autres. La compréhension de cette question est un des objectifs principaux de ce projet de recherche.