Les méthodes de la théorie des operateurs aux problèmes d'analyse et d'équations aux dérivées partielles

 

Damir Kinzebulatov

Université Laval

 

Domaine : structures abstraites

Programme : établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2018-2019

Mon projet est dédié à quelques problèmes provenant de la physique mathématique qui jouent un rôle principal en analyse moderne. Résoudre l'un d'entre eux amènerait des progrès significatifs pour les mathématiques.
 
I. Un mouvement brownien perturbé par un champ vectoriel singulier est un concept fondamental dans plusieurs modèles de la physique mathématique. Il se construit comme une solution d'une équation différentielle stochastique. La recherche des singularités maximales admissibles du champ vectoriel a attiré l'intérêt de beaucoup de mathématiciens, toutefois à ce jour une solution complète est toujours inconnue. Je compte avancer cette recherche en utilisant les techniques modernes de la théorie des opérateurs, qui m'ont récemment permis de combiner, pour la première fois, des singularités de types différents (aux points isolées et le long des hypersurfaces) mais pour une variante plus faible de ce problème de construction d'un mouvement brownien perturbé (le problème de construction d'un processus de Feller). Je compte aussi développer des instruments pour l'investigation de l'équation stochastique correspondante, y compris des estimations (non-gaussiennes) pour la solution fondamentale de l'opérateur de Kolmogorov correspondant.
 
II. Je continuerai ma recherche vers la solution de l'ancien problème de l'absence de valeurs propres positives de l'opérateur de Schroedinger sur R^d en dimension d>=3. Je compte obtenir des nouveaux résultats presque optimaux en exploitant le lien entre la propriété d'unicité d'extension (UE) (en généralisant mon résultat précédent avec L. Shartser) ainsi qu'en utilisant une nouvelle technique qui n'a pas besoin de UE.
 
Le but des projets I et II est d'introduire les techniques modernes de la théorie des opérateurs dans les domaines des processus aléatoires et de l'unicité d'extension.
 
III. Récemment, j'ai établi (conjointement avec A. Brudnyi) les résultats principaux de la théorie de fonctions dans certaines algèbres de fonctions holomorphes sur les revêtements de variétés de Stein, en prolongeant les théorèmes de Cartan A et B (la théorie d'Oka-Cartan) aux faisceaux cohérents sur les spectres de ces algèbres (par exemple: l'algèbre des fonctions holomorphes presque-periodiques qui joue un rôle important dans les problèmes d'analyse ainsi qu'en physique mathématique comme pour la localisation d'Anderson). Ce travail suggère que la théorie d'Oka-Cartan est valide au-delà des variétés complexes classiques. Je compte avancer les techniques que nous avons développées aux algèbres de fonction holomorphes dont la structure locale est similaire mais dont la structure globale est plus compliquée (par exemple, certaines sous-algèbres d'algèbre de Hardy de fonctions holomorphes sur le polydisque qui ont un nombre fini de discontinuités sur le bord du polydisque), en ayant le but final de déterminer le <<domaine naturel>> de la théorie d'Oka-Cartan.