Métriques géométriques et algébriques en topologie sympléctique

 

Egor Shelukhin

Université de Montréal

 

Domaine : structures abstraites

Programme : établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2018-2019

La topologie sympléctique est un domaine des mathématiques modernes en développement rapide aujourd'hui.  Il a ses racines dans la mécanique classique, mais il est déjà établi comme un domaine de grande envergure, avec des liens à de nombreuses autres disciplines - géométrie algébrique, géométrie différentielle, théorie des singularités, topologie algébrique, systèmes dynamiques et d'autres encore. Beaucoup des techniques de ce sujet  reposent principalement sur la mesure des aires bidimensionnelles dans les variétes de dimension paire, au lieu des longueurs mesurées dans la géométrie riemannienne. Toutes les variétes sympléctiques se ressemblent localement - le modèle locale est celui d'un voisinage d'un point dans l'espace de phase d'un système mécanique classique. C'est donc une théorie topologique, globale. Les symétries naturelles de cette théorie, les difféomorphismes dits hamiltoniens, généralisent directement l'évolution dans le temps d'un système mécanique classique dans l'espace de phase.
 
Ma recherche se concentre sur l'étude des métriques sur les groupes et les espaces à dimension infinie qui apparaissent naturellement dans la topologie symplectique. Un exemple géométrique clé d'une telle métrique, la métrique de Hofer, introduite par Helmut Hofer au début des années 1990, mesure l'énergie totale nécessaire pour générer un difféomorphisme hamiltonien donné. Un exemple algébrique, la métrique spectrale, due à Viterbo, Schwarz, et Oh, utilise deux ingredients principaux. Le premier est l'homologie de Floer filtré (basée sur l'analyse des opérateurs non-linéaires de Cauchy-Riemann), qui est une façon d'obtenir des informations quantitatives invariantes à partir de la structure des intersections géométriques en topologie sympléctique. Le deuxième est une construction de minimax homologique. Dans mes recherches, j'utilise aussi une variété d'autres outils, notamment la relation nouvellement introduite entre la théorie de Floer filtré et les modules de persistance (qui ont leur origine dans les sciences des données).
 
Ce projet a les trois objectifs suivants, qui se partagent des méthodes de persistance et de théorie de Floer filtrée. Le premier objectif est d'étudier d'autres structures algébriques sur les modules de persistance de Floer, avec des applications à la métrique spectrale et d'autres mesures de difféomorphismes hamiltoniens. Le deuxième objectif est d'étendre ces approches algébriques et géométriques à l'étude des sous-variétés lagrangiennes, en particulier la catégorie de cobordisme de Biran-Cornea et la catégorie de Fukaya. Enfin, j'ai l'intention d'envisager des applications des structures ci-dessus à topologie de contact: un analogue en dimension impaire de la topologie symplectique, qui a ses racines dans l'optique géométrique, décrivant la propagation de la lumière.