Structure de concordance de nœuds et d'entrelacs dans l'étude mathématique des espaces géométriques et leurs déformations

 

Mark Powell

Université du Québec à Montréal

 

Domaine : structures abstraites

Programme établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2015-2016

Mon domaine de recherche fait partie de ce que l'on nomme en mathématiques la topologie de basse dimension. Plus particulièrement, j'étudie la topologie des variétés de dimension trois et quatre et les interactions entre les deux.

De nombreux aspects intéressants de ces interactions se manifestent dans la théorie de la concordance des nœuds et entrelacs. En résumé, mon projet de recherche vise à comprendre la structure des espaces de concordance, en utilisant une combinaison de méthodes algébriques et géométriques.

La topologie géométrique concerne les variétés et leurs diverses propriétés. Une variété est un espace géométrique qui ressemble localement (c'est-à-dire, dans un voisinage de chaque point) à l'espace euclidien de dimension n. Un nœud dans une 3-variété M est un plongement du cercle dans M, alors qu'un entrelacs est un plongement d'une réunion disjointe de cercles dans M.  Par exemple, un nœud s'enroulant autour d'un autre nœud sans le toucher donne un entrelacs à deux composantes.

Dans mon travail, j'associe les invariants algébriques et analytiques à un nœud ou un entrelacs, c'est à dire des objets qui sont préservés sous une relation d'équivalence de nœuds ou entrelacs. Notamment j'utilise des outils de la théorie des groupes, de la théorie des représentations, de la théorie de la chirurgie et des algèbres de Von Neumann.