Théorie spectrale géométrique de l'opérateur de Dirichlet-Neumann

 

Alexandre Girouard

Université Laval

 

Domaine : structures abstraites

Programme établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2014-2015

La géométrie spectrale est l'étude des liens entre la forme d'un objet et les fréquences de vibration naturelle de cet objet. Mathématiquement, on étudie le lien entre la géométrie d'un espace et les valeurs propres d'un opérateur naturellement défini sur celui-ci. Ces valeurs propres correspondent aux fréquences de vibration naturelle de l'objet, ou aux niveaux d'énergie d'un système quantique. Ce domaine de recherche a pris son essor après que M. Kac ait proposé sa célèbre question : Can one hear the shape of a drum? En 1992, C. Gordon, D. Webb et S. Wolpert ont répondu à la question de M. Kac par la négative en exhibant deux membranes qui ont les mêmes fréquences naturelles, mais n'ont pas la même forme. Le spectre d'un objet ne détermine donc pas sa forme. Néanmoins, plusieurs informations géométriques sont de nature spectrale. Il est par exemple connu depuis le début du XXe siècle que le volume d'un objet est déterminé par ses fréquences naturelles.

Ce projet portera sur la géométrie spectrale de l'opérateur de Dirichlet-Neumann, qui sert de modèle en tomographie par impédance électrique. Notre but sera d'étudier des bornes géométriques pour ses valeurs propres, de comprendre l'information géométrique contenue dans son spectre ainsi que de développer une théorie de la discrétisation pour l'opérateur de Dirichlet-Neumann. Les méthodes que nous utiliserons reposent sur la théorie des opérateurs pseudo-différentiels, sur la géométrie métrique et sur l'isopérimétrie.