Tordues cubiques de fonctions L et courbes elliptiques

 

Dimitrios Koukoulopoulos

Université de Montréal

 

Domaine : structures abstraites

Programme projet de recherche en équipe

Concours 2018-2019

Les fonctions L se trouvent au coeur de la théorie analytique des nombres, car elles encodent les propriétés de plusieurs objets importants venant de l'arithmétique et de la géométrie, comme les nombres premiers, les extensions des nombres rationnels, et les variétés algébriques. Nous proposons d'étudier deux problèmes venant de la théorie des fonctions L.
 
La première partie de notre proposition concerne le comportement analytique de quelques fonctions L associées aux caractères cubiques de Dirichlet. Elles tombent dans deux catégories principales : les fonctions L de Dirichlet des caractères cubiques, et les tordues cubiques de fonctions L d'une courbe elliptique. Bien que la théorie soit bien comprise pour les caractères quadratiques, le cas cubique est beaucoup plus compliqué. Entre autres, un problème important est le comportement chaotique d'un paramètre appelé "la somme de Gauss".
 
Dans notre deuxième sous-projet, nous proposons d'obtenir une version effective de la conjecture de Sato-Tate pour les courbes elliptiques. Cette conjecture, établie en 2010, concerne le comportement statistique des réductions locales d'une courbe elliptique. Elle est directement liée aux propriétés d'une certaine famille de fonctions L.  Bien que la preuve de la conjecture de Sato-Tate soit un résultat extraordinaire, la version de la conjecture obtenue souffre d'une certaine ineffectivité. Le but de notre deuxième sous-projet est alors la démonstration d'une version plus forte de la conjecture de Sato-Tate. Une telle amélioration aurait des conséquences profondes dans notre compréhension de la structure de courbes elliptiques.