Formes modulaires et cycles algébriques sur les variétés de Shimura: théorie de Hodge et méthodes variationelles p-adiques

 

Henri Darmon

Université McGill

 

Domaine : structures abstraites

Programme projet de recherche en équipe

Concours 2014-2015

Les grands thèmes abordés par l'équipe de théorie des nombres concerneront l'étude des cycles algébriques sur les variétés de Shimura et de leurs représentations Galoisiennes associées. Les outils de prédilection proviennent de la théorie de Hodge p-adique et des déformations p-adiques de représentations galoisiennes et de formes modulaires, à la Mazur-Hida-Coleman. Un cycle algébrique sur une variété V est une combinaison linéaire (à coefficients entiers, ou rationnels) de sous-variétés de V de dimension donnée, prise modulo une relation d'équivalence convenable (l'équivalence rationelle).

Le groupe de Chow des cycles algébriques sur V apparaît comme une extension en dimension supérieure des groupes de Mordell-Weil des courbes elliptiques, que l'on récupère en codimension un quand V est une courbe de genre un. Ces groupes de Chow font l'objet d'une vaste généralisation de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, formulée par Bloch et Beilinson dans les années 70 et 80. Par ailleurs, on sait que les courbes modulaires représentent le prototype le plus simple de variétés de Shimura associées a un groupe algébrique réductif.

Motivée par le paradigme des courbes elliptiques, notre équipe compte étudier les cycles algébriques sur les variétés de Shimura, leurs variations en familles p-adiques, et leurs relations avec les fonctions L associées, par des méthodes basées tant sur la géométrie (théorie de l'intersection arithmétique, modèles canoniques des variétés de Shimura) que sur les méthodes p-adiques (théorie des formes modulaires p-adiques et des familles de Hida-Coleman, analyse rigide et cohomologie p-adique).