Théorie des représentations des sous-algèbres des algèbres de groupe

 

Franco Saliola

Université du Québec à Montréal

 

Domaine : structures abstraites

Programme établissement de nouveaux chercheurs universitaires

Concours 2011-2012

La notion mathématique de représentation a été développée à partir des études sur les symétries des objets physiques. Les informations sur ses symétries mènent à des informations sur les objets eux-mêmes. Par exemple, les symétries inhérentes d'un cristal classifient beaucoup de ses propriétés physiques. Cette idée se retrouve précisément dans de la théorie des représentations des algèbres : étant donné une structure algébrique, classifier tous les objets sur lesquels elle agit comme symétries; et déterminer les propriétés qui sont invariantes par ces symétries.

L'objectif de mon programme de recherche est d'étudier les représentations des algèbres construit à partir des groupes de symétries (réflexions). Il existe un lien profond entre les représentations de ces groupes et de ces algèbres, et ces liens s'étendent à d'autres domaines des mathématiques et des sciences telle que la théorie des probabilités, l'homologie, la théorie des algèbres de Lie, et la théorie non-commutative de champs quantiques en physique théorique.

L'originalité de mon approche est de considérer ces algèbres comme des algèbre construites à partir des algèbres d'arrangements d'hyperplans (un invariant fondamental combinatoire lié à un ensemble de symétries). Ces dernières algèbres se trouvent au cœur de la théorie de marche aléatoire sur les arrangements d'hyperplans. L'approche que je propose ouvre déjà la porte à des nombreuses projets de recherche dont certains permettront d'inclure rapidement des étudiants de maîtrise et doctorat.